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设z1、z2、z3三点适合条件: z1+z2+z3=0及|z1|—|z2|—|z3|=1. 试证明z1、z2、z3是一个...
设z1、z2、z3三点适合条件: z1+z2+z3=0及|z1|—|z2|—|z3|=1. 试证明z1、z2、z3是一个内接于单位圆周|z|=1的正三角形的顶点.
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由题设|z 1 |=|z 2 |=|z 3 |=1可设 z k = k=123 由题设z 1 +z 2 +z 3 =0可得 =0从而cosθ 1 +cosθ 2 +cosθ 3 =0sinθ 1 +sinθ 2 +sinθ 3 =0.所以(cosθ 1 +cosθ 2 ) 2 +(sinθ 1 +sinθ 2 )。 =(一cosθ 3 ) 2 +(一sinθ 4 ) 2 即2+2cos θ 1 cos θ 2 +2sin θ 1 sin θ 2 =1. 所以z 1 z 2 z 3 为内接于单位圆周的正三角形的顶点. 由题设|z1|=|z2|=|z3|=1,可设zk=,k=1,2,3,由题设z1+z2+z3=0,可得=0,从而cosθ1+cosθ2+cosθ3=0,sinθ1+sinθ2+sinθ3=0.所以(cosθ1+cosθ2)2+(sinθ1+sinθ2)。=(一cosθ3)2+(一sinθ4)2,即2+2cosθ1cosθ2+2sinθ1sinθ2=1.所以z1,z2,z3为内接于单位圆周的正三角形的顶点.

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